皆さんこんにちは ポケット予備校です！
この記事を読んでくださっている皆さんの大半は、東大への受験を考える受験生でしょう。そんな皆さんの多くにとって悩みの種となっているのは数学の対策方法でしょう。
東大数学は、理系で言えば２次試験の４４０点中１２０点という大きな部分を占め、非常に差がつく科目と言えるでしょう。
そんな中で、数学なんてやらなくていいやという受験生の方はいないでしょう。むしろ数学で少しでも高く得点して周りと差をつけてやろうという皆さんが多いことでしょう。そんな中、東大数学でいかにしたら高得点が取れるのか、またさらにいかにしたら少しでも得点が安定化されるかと言うことをこの記事の中で皆さんにお伝えできたらいいなと思います。
さて今回は記念すべき第一投稿ということで、細かい分野ごとの対策は今後の記事に任せるとして今回は数学に関して皆さんが抱きがちな疑問の数点をあげ、僕なりの答えをこの後何回かの記事で書きたいと思います。この他にも答えて欲しい疑問があれば、質問欄などに是非投稿ください！
記述って何書けばいいの?
数学が得意な人にしろ苦手な人にしろ一度は思ったことがあるのではないでしょうか。数学の記述答案の書き方についての話です。もちろん証明問題で答えだけ書く人はいないでしょうが、求値問題などにおいてどれだけ丁寧に答案を書くかと言ったことは疑問に持ったことがあるのではないでしょうか。
結論から言いますと、ケースバイケースです。『これだけが必要十分』と言った答えはありません。
とは言えこれでは何のアドバイスにもなっていませんね(笑)。記述答案の書き方の所謂『必要十分条件』は完全に求めることはできませんが(書き方も少し数学的にしています笑)、『十分条件』はあります。また、ほとんどの場合の『必要条件』となる書き方もこの記事を読んでいただければ、お伝えできると自負しています。それでは以下少し長くなりますが、お読みいただければ幸いです。
１ 答案の論理関係を意識
記述答案が減点される場合の減点理由の８割は、この論理関係に起因するでしょう。
結論から言うと、論理関係を成立させるための記述を書くことが必要十分と言えるでしょう。その記述がないと論理関係が破綻するならば減点対象になりますし、あなたの答案を読んで論理が成立し答えも間違っていないならばその答案は原則満点となるでしょう。
とは言え、論理関係などと抽象的に言われてもわからないと言う方も多いでしょう。今後各分野ごとの問題解説などの時にも折に触れ言及するつもりですが、今回も一つ二つと簡単な例をあげましょう。
中学生でも扱うような簡単な例ですが以下のような問題を考えます。
どこがまずいかと聞かれるとまずくないところがないほどやばいですね。そもそもa=0の時は一次方程式に帰着する上に、判別式の考察もないです。論理的にめちゃくちゃになっているのです。
少しくどくなりますが正しい命題は「考えている方程式が二次方程式でありその判別式が0以上ならば解の公式が適用できる」です。この問題ではならばの前の部分、方程式が二次方程式であり判別式が非負であるということが仮定されていないのでそうかそうでないかで場合わけが生じています。
もう一つ整数問題の例をあげましょう。
答えはすぐわかるような簡単な問題ですが、無理やりに少しまずい解答を2通りあげます。
（誤答１）については(場合によっては省略できることがあるのは後半で言及しますが)第一文が少しまずいですね。a,bが非負であることを言及しておかないと(a,b)=(-1,-p)(-p,-1)の考察が抜けてしまいます。第二文においてもpが素数である事から1<pと書いたほうが丁寧ですね。
（誤答２）ははっきり言ってやばいです。結論としては正しいのですが、このような答案を本番書いたら点数は見込めないでしょう。
何がまずいかといえば論理関係が逆転しているのです。そう皆さんも一度は耳にしたことがあるでしょう。論理についての話です。
特に京都大学の教授は明言しているようですが途中まで解答が正しくてもそこから論理が逆行している答案に関しては一切加点しないらしいです。同じだけ部分的に解答してあり論理が逆行している部分に関しては書かれていない答案よりも評価が低くなるのです。もっとひどく言うと書かないほうがマシということです。
もちろんこれは京都大学の例ですし東大の教授も同様の採点を行なっているとは限りませんが、論理的にまずい答案に関しては同程度の低評価を下していることでしょう。
すなわち論理の逆行とは受験生が決して犯してはならないタブーともいえます。その時点で自分の論理力のなさが答案を通して採点官に対して露呈してしまいます。
もちろん、解答２のような間違えをする受験生は少ないでしょう。しかしながら問題が複雑になり証明がいまいち書けないというときに苦し紛れかそのような論理の逆行をしてしまう受験生がいるのも確かです。数学においては常に論理関係を意識するということを徹底しましょう。
論理について詳しい話はまた別記事で述べるとして今回は解答2のまずさについて軽く言及して終わりましょう。
解答2においては与えられた方程式から解を導く必要があるのにある解が方程式を満たすことを確認するだけで終わってしまっているんですね。無論、その方程式の解であることには変わりないのですがそれ以外の解の考察が抜けてしまっているのです。すなわち数学の用語で置き換えると、十分性だけ確認して必要性が抜けてしまっているのです。
これを回避するためには何か他の方法で解が一つに限られるということをいうか、方程式を変形することで解が得られるという論理関係を構築する必要がありますね。
２ 計算過程って必要なの？
これも皆さんよく抱いている疑問なのではないでしょうか。
結論から言うと基本的に不要です。
例えば定積分の立式を行えばその後すぐに答えを書いても数字が合っていれば満点となるでしょう。
と言うのも正しい答えに辿りついているのならば、きちんと計算が行えていることがわかるからです。二次方程式や三次方程式についても、東大レベルならば式を書いた後すぐに答えを書いても(その結論が正しかったり適切に場合わけが行えているのならば)問題はないでしょう。
しかしここで大切なことがあります。計算過程は必要ではありませんが、書いてはいけないと言うものではありません。むしろ適切な計算過程の記述は自分のミスを減らすだけでなく、加点対象となる可能性があります。逆に言うと過程が一切ない場合計算ミスをしていれば一切加点は望めないでしょう。
具体例としては面積計算の時に上手く1/6公式が使えるように計算を工夫した痕跡などを答案の上に残しておくと、自分が後から見やすいだけではなく採点者にも工夫が伝わり印象がいいでしょう。
また東大の過去問で言えば、2019年度理系数学第一問の問題など典型的でしょうか。むろん、途中過程がなく答えだけ書いても、答えの数字が合っていれば適切な置換積分を施したことは採点者に伝わるでしょうが、あの大きさの解答用紙に答えだけ書くのは少しぶっきらぼうですね。
また実際聞いたところによるとあの問題は合格者でも数字まで合わされた人は少なく、積分を分けて実行するなど適切な途中過程に対して適宜加点を与えることで受験者の間に差をつけていたと聞きます。
要するに書きすぎるのもいかがなものですが、自分がミスせず採点者に答案の意図が伝わる程度に記述することはしばしば加点などの対象になると言うことですね！
３ 答案の作成について
最後に今回は答案の作成方法について。
一般論としてかなり基本的な記述も含めて述べましたが実際に東大の試験ともなると受験者のレベルもかなり高く、あまりにも初歩的なことは記述せず自明な事実として使って良いと言う場合があります。その場合キーとなるのは受験者間で書けるひとと書けない人がわかれ、差がつく部分の記述となります。
ただしこれについては勉強を進め東大の過去問の解説や東大模試の解答を読む中で自然に身につけていくものなので、初めのうちは論理関係を厳密に意識して記述するのがよいと思います。そのような部分に関してはこの記事でも後々述べていきたいと思います。
まとめ
今回のまとめは次のとおりです。
- 論理関係を成立させることが１番大事
- 計算過程は基本不要だが、問題によっては書けば加点されることもある
- 答案作成は初めのうちは論理関係を厳密に意識して書こう
それではコロナ禍で大変な中ではありますが、受験生の皆さん、勉強頑張ってください!!
東大理系、2019年入学で、ポケット予備校では理系数学を担当しています！この記事がみなさんの参考になることを願っています！
