皆さんこんにちは。ポケット予備校です。
本日のテーマはズバリ2020年度最新の東大理系数学の所感及び解説です。難化したと巷ではささやかれた2020年度数学ですが、以下細かく分析を重ねていきます。
問題はこちらから
2020年度 東大入試 理系数学問題 （東大HPに飛びます）
解答はこちらから
第１問
難易度
標準
難易度は標準としたものの、実際入試で取り組むとしたらかなり嫌な1問でしょう。はじめから見通しが立つ問題ではないので、時間を取られることを想定して一旦飛ばした受験生も少なくないでしょうし、実際の現場ならそうするのも立派な選択でしょう。
解説・解答例
問題の内容に関しては少し取り組んでみると、大して難解ではありません。
問題文の意味としては与えられた3つの連立不等式全てを満たす$x$の条件は$x>p$ということです。意味を理解した上で、不等式を眺めている、特に放物線のグラフを頭に思い浮かべながら不等式を眺めてみると(1),(2)に関しては自ずと答えは見えてくるのではないでしょうか。
まず(1)に関しては証明すべき命題の否定を考えてみることが良いでしょう。$a,b,c$いずれかが負であると仮定すると、いずれかが下に凸な放物線となります。下に凸な放物線は十分大きい$x$に対しては$y$軸の下側に位置してしまうことから、矛盾が導けますね。
(2)に関しては同様に背理法を用いて、全てが上に凸な放物線だとすると十分小さい$x$に関して与えられた3連立不等式が成立してしまいますね。記述でどこまで丁寧に書くのかは悩ましいところですが、$\infty$を使った表現やここで用いたような十分大きい、小さいといった記述でもほぼ問題ないでしょう。一応念のため解答のpdfには$\max,\min$記号を用いて具体的な形を与えておきましたが、実際の現場ではそこまで記述しなくてもほぼダメージはないだろうと思われます。
(3)は(1),(2)の結果を踏まえてとなるのですが、これは(1)や(2)と同様な発想ではあまりうまくいきません。とはいえ、(2)から$a,b,c$いずれかが0と導かれましたから、対称性よりとりあえず$a=0$とすれば、自ずと次の手続きは見えてくるでしょう。不等式が簡単に解ける形に帰着されますから、いくつかの場合わけも踏まえながら実際に不等式を解いて議論するのが良いでしょう。
第２問
難易度
標準
これまた難易度は標準としたものの、実際入試で取り組むとしたらかなり厄介な1問でしょう。はじめから見通しが立つ問題ではないので、時間を取られることを想定して一旦飛ばした受験生も少なくないでしょうし、実際の現場ならそうするのも立派な選択でしょう。
解答例・解説
問題の内容に関しては、初等幾何的な問題に帰着できたか否かが命運を分けたのではないでしょうか。詳しくは解答のpdfを参考にして欲しいのですが、用いている事実は三角形の面積と平行線の関係や相似比と面積比の関係だけです。
下手すれば中学入試の問題としても出題が可能である分、初等幾何が盲点となりベクトルや座標での議論に持ち込もうとした受験生は苦戦を強いられたのではないでしょうか。
ある意味で、アプローチの方法や時間の掛け方などで、全体としての得点の命運を分けた一問と言えるでしょう。
第３問
難易度
やや易〜標準
今年のセットの中でパッと見で一番取り組みやすい問題でしょう。特に試験開始直後大問1,2を飛ばしてまずこの問題から取り組んだという受験生も多かっただろうと思われます。
解答例・解説
(1)に関しては微分してもいいですが、平方根の中身に注目すると微分する必要もなく単調減少性が示されます。
(2)に関しては、$f(t)$を微分してもいいですが、平方根の微分は少々煩雑ゆえ$\{f(t)\}^2=g(t)$の増減を考える方が若干計算量も減り良いでしょう。
実際$f(t)>0$なので$f(t)$の増減は$g(t)$の増減と一致します。これは$y=x^2,y=\sqrt x$の性質からも明らかですし、もしくは$\{f(t)\}^2=g(t)$の両辺を微分して$2f(t)f'(t)=g'(t)$と$f(t)>0$から$f'(t)$と$g'(t)$の符号は一致することからもわかりますね。
(3)に関しては、細部にまで気を配った論証には少々手間がかかりますが、実際の入試の現場なら解答pdfの記述のように$D$が4分円の面積と$x$軸と$C$で囲まれる面積の和に等しいのでといきなり記述してもそこまで大きな減点はないか、(採点はあくまで全体の答案の出来を見た上での相対評価ですので場合によりけりですが)満点を獲得することもできたでしょう。
実際の現場では、全体の出来との兼ね合いもありますから、一旦このように軽く記述して面積を求めた後、時間が余ったら少し記述を足すのが得策なのではないでしょうか。ちなみに実際の受験生では回転の方向を間違えた人も少なからずいるようです。致命傷ではありませんが、多少の減点を食らう可能性はありますので気を付けましょう。
一番正確な記述としては、その二階微分まで調べた上で$C$の概形を記述することでしょう。しかしこれは手間がかかりますし、何より(1),(2)の誘導を無視した解答となってしまいますから、現実的には(1)からOPの傾きは単調減少であり、(2)の原点からの距離の増減も踏まえて$-1\leqq t\leqq\frac12$の範囲においては少なくとも$C$は上に凸な図形であると記述して概形を作図するあたりが現実的な記述答案でしょう。
第４問
難易度
やや難〜難
文系との唯一の共通問題ですが今年のセットの中で1,2を争い難解な問題でしょう。
解答例・解説
(1)に関しては解答pdfのように恒等式から求めるのが一番早いですし楽ですが、これを試験時間中に思いつく受験生はそう多くはないでしょう。
この解法にたどりつかずとも、$a_{n,2}$は結局$n$個の整数から二個を選び出した積の和ですから、選び出す整数を一旦固定してその後二回シグマを取るといった形で直接求めることも可能です。解答の最後に別解としてあげておきました。
もちろん、答えが得られた後は$n=2,3$などの小さな$n$で検算を行いましょう。そうすれば重複の除き忘れのような単純なミスは避けられますね。
(2),(3)は難しいです。(2)に関しては模範的解答としては各予備校の解答のように$f_n(x)=(1+x)(1+2^1x)\cdots(1+2^{n-1}x)$となると記述した上で求める方法でしょうが、これに試験場でたどり着くのは大半の受験生においても不可能といってもいいでしょう。
現実的なアプローチとしては、まず小さな$n=2,3,4\dots$などの値で結果を予想した上で、解答pdfにあるように$a_{n+1,k}$に関する漸化式を立式し、$\frac{f_{n+1}(x)}{f_{n}(x)}=1+2^{n}x$を示した上で、これから帰納的に$f_n(x)=(1+x)(1+2^1x)\cdots(1+2^{n-1}x)$を導くといったところでしょうか。
実際には証明が完成せずとも、答えだけでも記載すれば若干の加点の可能性がありませんし、今回の例で言えば、$\frac{f_{n+1}(x)}{f_{n}(x)}$の結果を用いて$\frac{f_{n+1}(x)}{f_{n}(2x)}$の値を求めるといった記述も、後半部分に関しては満点がもらえるでしょう。完答できずとも出来る限りのところを解き切るといったところでも十分差がついたでしょう。
(3)(2)の結果を用います。(2)が証明まで含めて完成せずとも、結果だけを用いて(3)を解答しきるということも本番では有効な策だったでしょう。
第５問
難易度
標準
東大らしい求積の問題ですね。最近(1)のように図示せよという問題も多いように思われます。
解答例・解説
(1)は落とせません。記述に関しては悩ましいところですが、各予備校のように一次変換故、相似な図形が得られるとするのも一手ですし、結果だけならこう予想できる受験生も少なくはなかったでしょう。
しかしながら、イマイチ自信が持てなかったり、不安ならば解答pdfのように存在条件で一度は記述しておいても良いのではないでしょうか。$S$に関しては答えをいきなり書いてもいいかとは思われます。他の問題とも兼ね合いですが、時間があり不安ならば同様に存在条件で記述しても良いでしょう。
(2)動点が多く、面食らう人も多いかもしれませんが、求積の基本どおり平面での立体の断面積を考えます(1)の誘導や図形の形から断面としては$xy$平面に平行な平面での断面を考えるのが良いでしょう。切断面を固定したとき、点Pが$S$を動くときの線分APの通過領域を考えますが、次は点Pの$z$座標を一旦固定するのが良いでしょう。
そうすると点Pの動く範囲が円の内部及び周上となり、(1)と同様にアプローチ可能となります。(1)で一度存在条件で記述しているのならば、ここではもうサラッと相似よりと記述して、円の中心及び半径を記述するのが制限時間を考慮しても現実的でしょう。半径が点Pの$z$座標によらないことから, 点Pの$z$座標を動かしたときの今考えている切断面での断面積は比較的簡単に求まりますね。最後は$0\leqq z \leqq 2$の範囲で断面積を積分するだけですね。
第６問
難易度
やや難
第四問と並んで今年のセットで最も厄介な一問です。
解答例・解説
(1)は、定数$\alpha$の存在により解を具体的に求めることは不可能であるため、高校数学での数少ない存在に関する主張の定理である中間値の定理の適用を考えましょう。グラフを書けば、少なくとも4解を持つことはほとんど自明ですね。
(2)はまずは問題文を正しく理解しましょう。『任意の点P』や『点Qが少なくとも4つ存在する』といった意味をその順番を含めて正しく把握しないと解答できません。少し解説するとここで考えるのは、任意の点Pに関して与えられた条件が成立することを考えます。
アプローチとしては、点Qに関しては楕円上という条件もありますし、媒介変数表示をするのが楽でしょう。点Pについては、極座標表示しても構いませんが、普通に点P$(x,y)$とおくのと変数の数は同じなので好みで選べば良いでしょう。逆に点Qはこのように表示してしまうと、束縛の条件 $\frac{x^2}2+y^2=1$を考える必要があり、扱いが煩雑になりますね。
さてこのように点P点Qを表示した上で与えられた直交条件を立式して少し変形を施すと(1)の利用が可能であることがわかります。詳しくは解答のpdfを参照してください。
当然ですが、最後$r$の最大値を求める際は、$r$がその値を取りうるということと、それより大きい値を取り得ないということの二つを記述する必要があります。前者に関しては、(2)の前半の目標である$r$の存在の際に、最大値となる$r(=\frac12)$をあげてしまうのが記述が簡潔にすみ良いでしょう。
$r>\frac12$となり得ない証明に関しては、$r>\frac12$の時「任意の点Pに対して条件が成立する」の命題の否定を証明すれば良いので、ある点Pに関して、条件が成立しないことを示せば良いですね。そのような点Pを発見する手がかりとしては(解答pdfから文字などは引用しますが)$\frac1{2a}\sin2\theta-\sin(\theta+\alpha)=0$を満たす$\theta$が3つ以下しか存在しないような$\alpha, a$の値より推測します。この方程式が具体的に解けそうな値として$a=1$を選択し、グラフの作図などから、解が3つしか存在しない場合として$\alpha=\frac\pi4$を選択するのが良いのではないでしょうか。詳細な記述は解答pdfを参照してください。
まとめ
全体として取り組みにくい問題が多く、制限時間の観点からも時間内に完全な解答作成をすることは大半の受験生にとっては厳しかったでしょう。
このようなセットの年こそ、取れるべき問題や小問を確実に得点した上で、多少不完全なところがありつつも出来るところで部分点を取り切ることが合否を分けたのではないでしょうか。
東大理系、2019年入学で、ポケット予備校では理系数学を担当しています！この記事がみなさんの参考になることを願っています！
