【自然な発想で解ける!】2018年東大理系数学の解答例&徹底解説!【東大生の過去問解説】

皆さんこんにちは。ポケット予備校です。

本日のテーマは2018年度の東大理系数学の感想&解説です。

2017年度は非常に簡単なセットの年で理科三類においては数学ではもはや差がつかない、理科Ⅰ類Ⅱ類の受験生でも満点をとった受験生も散見された年でしたが2018年度はどうだったか、以下見ていきたいと思います。

問題はこちらから(東大HPにとびます)

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2018年の感想&解説

第1問

易〜やや易

数学Ⅲの計算問題で、落とせません。今回のセットでももっとも簡単な部類の問題ですので、完答するとともにいかに短時間で処理できたかでも全体のパフォーマンスに差がついたでしょう。

微分で間違ってはいけません。導関数の符号は直ちには判断できないかもしれませんが、増減表を作成する時の定石通り、$f'(x)=0$を解こうとして若干の試行錯誤を繰り返せば、前述の方程式が$\cos x=0, x=\sin x \cos x$と同値であることが従います。

第二式について少し戸惑う方もいるかもしれませんが、左辺-右辺を$x$の関数と見て処理しても構いませんし、少し変形して$2x = sin 2x$としてから、$x>0$で$x>\sin x$より解なしとして片付けても良いでしょう。

この不等式に関してですが、無論証明しろと言われたら証明できるべきですが、もはや半ば常識ですし当然誘導がなくても自ら書けるようにして置きましょう。とはいえ本番では念のため微分して軽く証明しておくのが安全ですかね…

極限に関しては問題ないでしょう。

第2問

標準

整数問題ですね。難易度としては東大の標準レベルと言ったところでしょう。文系にも一部誘導がついた上での文理共通の出題でした。

(1)では$\frac{a_n}{a_{n-1}}$の計算はコンビネーション記号の定義さえ抑えていれば問題ないでしょうが、$\frac{q_n}{p_n}$が既約分数であるという条件を見落とさないようにしましょう。

具体的にどのような形になるかは$n=2,3$などを代入して試した上で答えを予測し、論証を試みましょう。この大問の中ではここの議論がやや複雑だったかもしれません。ただし整数分野で頻出の互除法の原理ですので解けなかった人はしっかりと復習しましょう

(2)まず初めに$a_1, a_2,a_3$などで様子をみましょう。そうすると答えの候補として、$n=1,2$が上がると思います。その後には二通りのアプローチが考えられるでしょう。解答pdfのように取り組んでも良いですが、やや上級者向けで実践的でないかもしれません。

より実践的な解法としては、(1)での$\frac{a_n}{a_{n-1}}$の分母は2次式、分子は1次式となることから大きい$n$ではこれが1未満になることに注目しましょう。さらにここから$a_n$が減少列であることも推測できます

あとは、大きい$n$に対して$a_n$が1未満、すなわち非整数になることを論証した上で議論から抜け落ちた項に関しては実際$n$を代入して計算するのが良いでしょう。

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第3問

標準

ベクトル方程式の問題ですね。難易度としては標準的ですが、領域の概形に$k$の値に応じて場合わけが生じここを見落とした受験生とそうでない受験生とで差も十分ついたでしょう

アプローチですが、極限を考える時をのぞいてまず$k, \frac1k$は定数であることに注意しましょう。そうなれば2点P,Qが動く問題ですが定石通り一点を固定してからもう一点を動かし始め固定した点の固定を解くと言ったようにアプローチしましょう。

記述も丁寧にするに越したことはないですが、第一は正確に場合わけを含めて作図を行い面積を求めることであることに注意しましょう。極限計算は$S(k)$の関数形が正しく求まれば問題ないでしょう。また念のため$k=1$などを求めた答えに代入して計算チェックも行うのが良いでしょう。

解答PDFはこちら

第4問

典型的な3次関数のグラフと三次方程式の解の配置の問題でした。落とせません。第一問と並んで今年で最も簡単な問題と言っていいでしょう。境界の有無なども含めて完璧に解答したいです。

詳しくは解答PDF参照です。

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第5問

やや難

複素平面の問題です。今年のセットの中で1,2を争い厄介でしょう。特に複素平面を苦手とする受験生も多いのでこの問題も本番ではかなり出来は悪かったのではないでしょうか

複素数の知識に加えて複素平面の問題ということで、幾何的性質もキーとなる問題でした。単位円の接線に関する対称移動の条件をいかにして複素数で扱いやすい形で表すかということが初手でキーとなりましたがここがクリアできず得点と鳴らなかった受験生も多い気がします。

(1)序文で述べたとおりまずは幾何的条件を表現します。いくつか形が考えられますが、与えられた複素数$z,u,1$を用いて簡単に表現できる条件はOP, AQが平行かつ, PA$=$PQということでしょう。

解答作成では直接は関係ありませんが、これは必要条件であるとともに十分条件にもなっているので、この条件をうまく処理すれば必ず答えが求まるという認識は大切です。この条件を立式した上で解けばこの小問に関しては問題ないでしょう。

(2)軌跡を求める手続きとしては解答PDFのようにするのが素直です。解答PDFを確認してください。

一方で、(1)の誘導を踏まえると$\frac{w+\overline{w}+1}{w}=2$の条件を変形して$x=-y^2+\frac14$の条件を出した上で、軌跡の限界点を他の条件から求めると言った解答も可能ですし、実際そういう風な解答を公開している予備校や参考書があるかもしれませんが、その解答では求めた軌跡が十分であるかの議論が不完全となります

別の言い方をすると$\frac{|w+\overline{w}+1|}{|w|}=2$という条件は必要条件でしかないのでこの条件をいくら同値変形したところで求めた軌跡も必要条件で終わってしまいます。

試験場での実践的解答としては問題ないかもしれませんが細かいことを考えると不完全な解答で終わってしまうことは認識しておくべきでしょう。

第6問

やや難

東大らしい求積の問題ですね。とはいえ設定もやや複雑で今年のセットの中でも厄介な一問でしょう。難解かつ処理量も他の大問と比べてかなり多いので、取り組むとしても今年のセットでは後に回すべき大問でしょう。

(1)は取りたいです。少なくとも前半は必ず合わせましょう。後半に関しては、立体問題の定石通り、ある図形を動かして断面はある図形の断面を動かして得られる図形に等しいことを利用しましょう。すなわち、球を動かした後の立体の断面を求めるのではなく、球の断面、すなわち円を動かして得られる図形と考える方が簡単ですね。

(2)に関しては(1)の誘導も踏まえて、条件を任意の断面$y=t$で$V_1, V_3$の共通部分が$V_2$に含まれる条件と考えましょう。そうすると解答PDFにある通り条件は任意の$1-r\leqq t \leqq r$なる$t$で $2t^2-2t+1-r^2>0$が成立する条件と言い換えられて、答えが求まります。

(3)に関しては少し発想を変換して対称性と体積をドモルガンの法則的に考えることが必要でした。(2)の条件がうまく効いてくるのですがなかなか難ですし、正答率も高くないでしょう。この小問は飛ばして(4)に取り組んでもよかったかもしれません。

(4)立体問題の定石通り、断面をきめ断面積を積分して答えを求める問題でした。(3)が未解答に終わってもこの小問には手をつけたいところでもありました。細かいことは解答PDFで良いでしょう。$T$に関しては$z$軸に垂直な平面の断面の方が断面積が綺麗な形で求まったかもしれません。余力のある人はそちらの解答も試してみてください。

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まとめ

さて、2018年度の東大数学について感想&解説を述べてきました。よくよく復習して、本番に備えてくださいね!

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